Question

若函数f（x）同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数”
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
请解答以下问题：
（Ⅰ） 判断函数f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；
（Ⅱ）判断函数g（x）=-x³是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数h(x)=

x-1

+t是“规则函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“规则函数”的定义判断即可；
（Ⅱ）易检验条件①，根据条件②列出方程组解出即可；
（Ⅲ）易验证条件①，根据条件②列出方程组，转化为方程根的分布问题解决．

解答：解：（I）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1（x≥0）在（0，1）单调递减，[1，+∞）单调递增，
在（0，+∞）内不单调，∴f（x）不是“规则函数”；
（Ⅱ）g（x）=-x³在R上单调递减，
假设g（x）是“规则函数”，即存在[a，b]满足条件g(x)max=g(a)=-a3=

b

2

，g(x)min=g(b)=-b3=

a

2

，且a＜b，
可解得a=-

2

2

，b=

2

2

，
∴闭区间为[-

2

2

，

2

2

]；
（Ⅲ）∵h（x）是“规则函数”，h(x)=

x-1

+t（x≥1），即存在区间[a，b]满足h（x）∈[

a

2

，

b

2

]（（b＞a≥1）），
又∵h（x）在[1，+∞）上单增，h(x)min=h(a)=

a-1

+t=

a

2

，h(x)max=h(b)=

b-1

+t=

b

2

，
∴方程

x-1

+t=

x

2

在[1，+∞）上有两个相异实根，
令

x-1

=m(m≥0)，即有m²-2m-2t+1=0在[0，+∞）上有两个相异实根，即（m-1）²=2t，m∈[0，+∞），
∴0＜2t≤1，解得0＜t≤

1

2

，
所以得t∈（0，

1

2

]．

点评：本题考查函数的单调性、值域问题，考查学生分析解决新问题的能力，考查函数与方程思想．