（2011•广州模拟）（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A的坐标为(2

2

，

π

4

)，曲线C的方程为ρ=2cosθ，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为．

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，e≈2.718285．
（I）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（III）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

1

x

成立．

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0．
（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x₀，y₀）是曲线C上一定点，若

PM

•

QM

=0，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

已知x轴上有一点列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）写出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（II）记bn=

an+3

an

(n∈N*)，证明：b1+b2+b3+…+bn＜

1

4

(n∈N*)．

箱中装有12张大小、质量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n²-9n+22，卡片正反面用颜色区分．
（I）如果任意取出一张卡片，求正面数字不大于反面数字的概率；
（II）如果有放回地抽取三张卡片，用X表示三张中正面数字不大于反面数字的张数求X的分布列和数学期望．
（III）如果同时取出两张卡片，在正面数学无3的倍数的情况下，试求他们反面数字相同的概率．

如图，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F为AC的中点．
（I）求点A到平面BCE的距离；
（II）证明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．

下面有关四面体的命题：
①每一个四面体都有唯一的外接球；
②每一个四面体都有唯一的内切球；
③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球；
④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；
⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形．
其中正确命题的序号是．

如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C．已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．
（I）求两观测点A与C的距离；
（II）设∠BCA=θ，求cos（θ-45°）