Question

箱中装有12张大小、质量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n²-9n+22，卡片正反面用颜色区分．
（I）如果任意取出一张卡片，求正面数字不大于反面数字的概率；
（II）如果有放回地抽取三张卡片，用X表示三张中正面数字不大于反面数字的张数求X的分布列和数学期望．
（III）如果同时取出两张卡片，在正面数学无3的倍数的情况下，试求他们反面数字相同的概率．

Answer 1

分析：（1）由不等式n≤n²-9n+22，求出满足条件的n，然后根据古典概型的概率公式进行计算即可；
（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率，得到分布列，而X～B（3，

3

4

），从而求出X的数学期望；
（3）当他们反面数字相同时，设取出的是第m号卡片和第n号卡片（m≠n）根据m²-9m+22=n²-9n+22．求得m+n=9，从而得到符合条件的取法，记“同时取出两张卡片，正面数字无3的倍数”为事件A，记“同时取出两张卡片，反面数字相同”为事件B．求出P（A），P（AB），从而P(B/A)=

P(AB)

P(A)

．

解答：解：（1）由不等式n≤n²-9n+22，得n≤5-

3

或n≥5+

3

．
由于n∈{1，2，…，12}，所以n=1，2，3，7，8，9，10，11，12．
即共有9张卡片正面数字不大于反面数字．
故所有的概率为

9

12

=

3

4

．
（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=

C

0 3

(

1

4

)3=

1

64

，
P(X=1)=

C

1 3

(

1

4

)2(

3

4

) =

9

64

，P(X=2)=

C

2 3

(

1

4

)(

3

4

)2= 

27

64

，P(X=3)=

C

3 3

(

3

4

)3=

27

64

，
故X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

X～B（3，

3

4

）．所以X的数学期望EX=3×

3

4

=

9

4

．
（3）当他们反面数字相同时，设取出的是第m号卡片和第n号卡片（m≠n）．
由m²-9m+22=n²-9n+22．得9（n-m）=n²-m²，由m≠n，得m+n=9．
故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5，舍掉3，6．
记“同时取出两张卡片，正面数字无3的倍数”为事件A，记“同时取出两张卡片，反面数字相同”为事件B．
得P(A)=

C 2 8

C 2 12

，P(AB)=

3

C 2 12

，
所以P(B/A)=

P(AB)

P(A)

=

3

C 2 8

=

3

28

．

点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的期望和条件概率，同时考查了计算能力，属于中档题．