题目内容
如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C．已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．（I）求两观测点A与C的距离；
（II）设∠BCA=θ，求cos（θ-45°）
分析：（I）由题意可得∠BCD=120°，A、B、C、D 四点共圆，且AC为直径，∠ABC=90°，AD=5，AB=4，由余弦定理求出
BD的值，再由正弦定理求出AC．
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，△ABC中，由正弦定理求出sinθ，可得cosθ，再由两角差的余弦公式求出
cos（θ-45°）的值．
BD的值，再由正弦定理求出AC．
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，△ABC中，由正弦定理求出sinθ，可得cosθ，再由两角差的余弦公式求出
cos（θ-45°）的值．
解答：解：（I）由题意可得∠BCD=120°，∴A、B、C、D 四点共圆，且AC为直径，∠ABC=90°，AD=5，AB=4．
BD=
=
=
．
∴AC=2R=
=
=2
．
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，Rt△ABC中，由正弦定理可得
=
，
∴sinθ=
，cosθ=
．
∴cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=
．
BD=
| AB2+AD2-2AB×ADcos∠BAD |
| 42+52-2×4×5cos60° |
| 21 |
∴AC=2R=
| BD |
| sin∠BCD |
| ||
| sin120° |
| 7 |
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，Rt△ABC中，由正弦定理可得
| AB |
| sinθ |
| AC |
| sin90° |
∴sinθ=
2
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
∴cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=
| ||||
| 14 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角差的余弦公式，解三角形的实际应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C．已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．