【题目】如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【题目】关于函数有下述四个结论：

①的周期为；

②在上单调递增；

③函数在上有个零点；

④函数的最小值为.

其中所有正确结论的编号为（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

【题目】如图1，在边长为的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得，如图2所示，点在上，，、分别为、中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线与曲线分别交于两点（异于原点），定点，求的面积.

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.

【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示:

（1）求的值；

（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第2组中抽到人的概率．

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.

A. 4B. C. D.

【题目】已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.

⑴ 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入年总成本）.

【题目】已知函数（，且）.

（1）求函数的极值点；

（2）当时，证明：.