题目内容
【题目】如图1，在边长为
的正方形中
，
、
分别为
、
的中点，沿
将矩形
折起使得
，如图2所示，点
在上，
，
、
分别为
、
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取
中点
，连结
、
，利用中位线可得
且
，由直棱锥性质可知
且
，即可证得四边形
是平行四边形，进而
，再由线面平行的判定定理说明即可；
（2）由余弦定理，已知以及勾股定理可说明
，易证
，由线面垂直的判定定理和性质定理可说明
，由等腰三角形说明
，进而可证
平面
，
，则
为二面角
的平面角，最后在
中求得答案.
（1）证明：（法一）
如图取中点，连结、，
则在
中由中位线定理可知且，
又由原正方形可得且
且
，
四边形是平行四边形，
，
又
平面
，
平面，
平面.
法二：
如图，延长
、
交于点
，连结
，
且，
，
为
中点，
中位线
又平面，
面，
平面.
（2）解：（法一）
如图，因为
，
，
所以
，
又
.所以
，
，
，
，
，，
又
，
，
，
平面，
平面，
.
又
，
平面
，
面，
又为中点，即
，所以，
，
平面，，
为二面角的平面角.
在中，
，
，
，
二面角的余弦值为.
法二：
如图，
，，
，
又.所以，，
，
，
，，
又，，，
平面，平面，
.
又，
平面，面，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
而
是平面
的一个法向量
设平面
的法向量为
，
由
，即
，
令
，则
，
面的一个法向量为
，
设二面角大小为
，由图，
.
.
二面角的余弦值为.
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