【题目】数列，，满足：，，．

（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；

（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；

（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，任意的，证明：.

【题目】如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于， 两点.若直线斜率为 时， .

(1)求椭圆的标准方程；

(2)试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

【题目】已知椭圆C:（）的左顶点为A，离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线（）与椭圆C交于E，F两点，直线，分别与y轴交于点M，N，求证:在x轴上存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，以为直径的圆都必过点P，并求出点P的坐标.

（1）试估计该河流在8月份水位的众数；

（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为，其他情况类似.据此，试分别估计该河流在8月份发生12级灾害及不发生灾害的频率，，；

（3）该河流域某企业，在8月份，若没受12级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案:

试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.

【题目】在四棱锥中， 与相交于点，点在线段上，，且平面．

（1）求实数的值；

（2）若，, 求点到平面的距离．

【题目】某省新高考将实行“”模式，“3”为全国统考科目语文数学外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学生物思想政治地理4个科目中选择两科.某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从“再选科目”中随机选择两科，则思想政治被选中的概率为（ ）

A.B.C.D.

【题目】已知函数，.

（1）若函数在区间上单调递减，试探究函数在区间上的单调性；

（2）证明：方程在上有且仅有两解.

【题目】随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下图所示．

（Ⅰ）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；

（Ⅱ）若按分层抽样的方法从年龄在以内及以内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在内的概率.

【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为，且，求证：.