Question

【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为，且，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点；解法3；求出，讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由（Ⅰ）知：是的两个根， ，然后利用分析法要证，只需证:，从而可得，进而可得，令，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出.

（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；

解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，

令,

故在处的切线方程为：

代入点有：

可得：

解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．

，故时，时，

故在上单增，在上单减，

又，故时， 时，

可得：…

解法3：

①时， 故在上单增，

故在最多只有一个实根，不合题意；

②时，令 令

故在上单增，在上单减；

故

当时，

故在上有两个不相等的实根，故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是的两个根，

故

要证：，只需证：，

即证：

即证：，即证：

又故上式为：

令

故在上单增，故 故式成立，即证.