Question

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，任意的，证明：.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 ．

【解析】

(1)确定函数的定义域，求，对分类讨论确定区间上的根的情况，从而确定函数的单调区间；

(2)若在上恒成立，则只需函数即可，故根据第(1)问中函数的单调性，可确定当时函数有最大值，利用导数法可判断，进而可得，从而可求得的范围；

(3)可化为，结合由(2)得，时，，而，故可得，又，进而可证得结果．

(1)函数的定义域为,．

①当时，在上单调增

②当时，，所以在上单调增；

③当时，

令得，，所以在上单调递增；

令得，，所以在上单调递减．

(2)由(1)知，当时，在上单调增，且，

所以在上不恒成立；

当时，由(1)知，在上单调递增，在上单调递减，

所以，故只需即可，

令，，

所以当时，；当，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，又，

所以,解得

综上，的取值范围是．

(3)注意：用第(2)题的结论：时，．

，

因为，所以，由(2)得，时，

令，则，因为，所以，即，

因为，所以．