【题目】已知直线过点和椭圆：的焦点且方向向量为，且椭圆的中心关于直线的对称点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线交椭圆于点、，且满足（为原点）？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【题目】由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；

（2）（i）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；

（ii）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金元、元，元.设观众每次中奖的概率均为，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少元？（结果精确到个位）

【题目】对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的一对“雷点”.已知，，若函数与恰有一个“雷点”，则实数的取值范围为（ ）

A.B.C.D.

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（ii）若该考场共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，从这7中随机抽取两人，求两人成绩之和大于等于18的概率.

【题目】设，。

（1）求的单调区间；

（2）讨论零点的个数；

（3）当时，设恒成立，求实数的取值范围.

【题目】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求的最小值.

【题目】定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，我们称这样的函数是“型函数”.请解答以下问题：

（1）已知函数是“型函数”，求p和b的值；

（2）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、m和a的值，并说明理由.

（3）已知函数是一个“型函数”，且，是增函数，若是在区间上的图像上的点，求点M随着变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.

【题目】定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：

（1）数列1，2，p，4是“等和数列”，求实数p的值；

（2）项数为的等差数列的前n项和为，，求证：是“等和数列”.

（3）是公比为q项数为的等比数列，其中且恒成立.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸

【题目】已知函数，其中，e是自然对数的底数.

（1）若是上的增函数，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：.