Question

【题目】已知函数，其中，e是自然对数的底数.

（1）若是上的增函数，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由是上的增函数等价于恒成立，得，求的最大值，即可得到本题答案；

（2）由，证明当时，的最小值大于0，即可得到本题答案.

解：（1），是上的增函数等价于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求导得，令，，

是上的减函数，又，故1是的唯一零点，

当，，，递增；

当，，，递减；

故当时，取得极大值且为最大值，所以.

（2），令，

以下证明当时，的最小值大于0.

求导得.

①当时，，；

②当时，，令.

则，又，

取且使，即，则，

因为，故存在唯一零点，即有唯一的极值点且为极小值点，又，且，即，

故，因为，故是上的减函数.

所以，所以.

综上，当时，总有.