12．如图.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.过点A的直线与原点的距离为$\frac{{\sqrt{3——青夏教育精英家教网——

如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，求k的值．

11．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁、F₂，若直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（i）求点M的轨迹C₂的方程；
（ii）过点F₂作两条相互垂直的直线交曲线C₂于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．

如图，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$为焦点的椭圆C与以原点O为圆心，F₁F₂为直径的圆在第一象限的交点的纵坐标为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆与y轴正半轴交点的直线l交椭圆于A、B两点，若△OAB面积的最小值为$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，试求直线l的斜率k的取值范围．

点F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$），动点M到点F₂的距离是4，线段MF₁的中垂线交MF₂于点P．
（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（2）若斜率为$\sqrt{2}$的动直线l与轨迹G相交于A、B两点，Q（1，$\sqrt{2}$）为定点，求△QAB面积的最大值．

8．已知动点P到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于到定点C（$\frac{1}{2}$，0）的距离．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若在y轴上截距为2的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，O为坐标原点，且以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程．

7．已知函数f（x）=e^2π-x+sinx，x∈[π，2π]，g（x）=${π}^{2x-e}+ln\frac{x}{e}$．x∈（0，e]．
（1）若存在实数x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立．对任意的实数x∈（0，e]，b≥g（x）成立，求α的最大值u，b的最小值v；
（2）试比较u与v的大小，并说明理由．

6．设f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数．
（1）当a=$\frac{16}{15}$时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

5．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C₁交于M，N两点．
（I）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若AB是椭圆C₁经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$为定值．

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆上的点到直线$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距离的最大值为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，倾斜角为45°的直线l交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M（4，1），当直线l不过点M时，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且焦点在x轴上、短半轴长为b的椭圆C_b的标准方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围；
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）

0 231373 231381 231387 231391 231397 231399 231403 231409 231411 231417 231423 231427 231429 231433 231439 231441 231447 231451 231453 231457 231459 231463 231465 231467 231468 231469 231471 231472 231473 231475 231477 231481 231483 231487 231489 231493 231499 231501 231507 231511 231513 231517 231523 231529 231531 231537 231541 231543 231549 231553 231559 231567 266669