Question

8．已知动点P到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于到定点C（$\frac{1}{2}$，0）的距离．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若在y轴上截距为2的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，O为坐标原点，且以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得动点P的轨迹为抛物线，且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得kx²-2y+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵动点P到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于到定点C（$\frac{1}{2}$，0）的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p=1，
∴动点P的轨迹方程为y²=2x．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去x，得kx²-2y+4=0，
∵直线l与抛物线相交，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=4-16k＞0}\end{array}\right.$，解得k＜0，且k≠0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}{y}_{2}=\frac{4}{k}$，
∵x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}=0$，解得k=-1符合题意，
∴直线l的方程为y=-x+2．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的方程求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、抛物线定义的合理运用．