5．已知x2+y2=a.m2+n2=b.求证:mx+ny≤$\frac{a+b}{2}$．——青夏教育精英家教网——

5．已知x²+y²=a，m²+n²=b（a＞0，b＞0），求证：mx+ny≤$\frac{a+b}{2}$．

4．已知a，b∈R⁺，且a≥b
求证：b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a．

3．已知n∈N^*，n≥2，求证：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

2．设a≥0，b≥0，且a≠b，求证：对于任意正数p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p{b}^{2}}{p+1}$．

1．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证：$\frac{ad+bc}{bd}$+$\frac{bc+ad}{ac}$≥4．

20．如图，直线l过抛物线y²=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则|AB|等于（　　）

19．设M为直线x-y-1=0上的动点，过M作抛物线y=x²的切线，切点分别为A，B．
（1）求证：直线AB过定点．
（2）求△ABM面积S的最小值，并求此时取得最小值时M的坐标．

18．已知A、B为抛物线C：y²=4x上的不同的两点，且$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，则$|{\overrightarrow{AB}}|$=（　　）

$\frac{100}{9}$

17．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y²=4x的准线的一个交点的纵坐标为y₀，若|y₀|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

（1，$\sqrt{3}$）

（1，$\sqrt{5}$）

（$\sqrt{3}$，+∞）

（$\sqrt{5}$，+∞）

16．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即$\frac{n}{2}$）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（　　）

0 229063 229071 229077 229081 229087 229089 229093 229099 229101 229107 229113 229117 229119 229123 229129 229131 229137 229141 229143 229147 229149 229153 229155 229157 229158 229159 229161 229162 229163 229165 229167 229171 229173 229177 229179 229183 229189 229191 229197 229201 229203 229207 229213 229219 229221 229227 229231 229233 229239 229243 229249 229257 266669