某地区统一组织A，B两校举行数学竞赛，考试后分别从A，B两校随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到下面的结果：

分数段	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
A校频数	8	20	42	22	8
B校频数	4	12	42	32	10

（Ⅰ）若考试分数大于或等于80分为优秀，分别估计A，B两校的优秀率；
（Ⅱ）已知B校用这次成绩对学生进行量化评估，每一个学生的量化评估得分y，与其考试分数t的关系为y=

-2，t＜60 2，60≤t＜80 4，t≥80

，求B校一个学生量化评估成绩大于0的概率和该校学生的平均量化评估成绩．

已知函数f（x）=x²-

2

3

ax³（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求a的取值范围．

某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）
（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

（1）计算：C

2013 2014

+A

3 5

；
（2）观察下面一组组合数等式：C

1 n

=nC

0 n-1

；2C

2 n

=nC

1 n-1

；3C

3 n

=nC

2 n-1

；…由以上规律，请写出第k（k∈N^*）个等式并证明．

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．
（Ⅰ）证明：O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C₁-OB₁-D的余弦值．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，记数列{c_n}的前n项和T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=35，a₃-1是a₁+1和a₄的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若b_n=

an2-3

Sn-n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

5

3

，且直线y=x+

b

2

是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P（x₀，y₀）为椭圆上一点，直线l：

x0x

9

+

y0y

4

=1，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；
（3）过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线x=

9 5

5

于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=

5

4

|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，∠BAF=

π

3

，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：
（1）BF⊥平面DAF；
（2）ME∥平面DAF．