已知函数f（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）过点P（0，

4

e2

）作直线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（

e2-1

e2

，

2e2-1

e2

）

在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

．
（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与圆O的公共点的极坐标（ρ≥0，0≤θ≤2π）．

已知函数f（x）=|2x-a|+5x．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞5x+1的解集．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

如图，在四面体ABCD中，CB=CD=BD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（1）求证EF∥平面ACD；
（2）求BC与平面EFC所成的角．

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以原点O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A，B是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）设点C，D是曲线C2所在抛物线上的两点（如图）．设直线OC的斜率为k₁，直线OD的斜率为k₂，且k₁+k₂=

2

，证明：直线CD过定点，并求该定点的坐标．

已知函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

设f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=

1

x

-x²．求x＜0时f（x）的解析式．

己知f（x）=2x-x²，
（1）求f（x）=-3的根；    
（2）当x∈[-1，2]时，求f（x）的值域．

已知数列{a_n}满足a₀∈R，a_n+1=2ⁿ-3a_n，（n=0，1，2，…）
（1）设b_n=

an

2n

，试用a₀，n表示b_n（即求数列{b_n}的通项公式）；
（2）求使得数列{a_n}递增的所有a₀的值．

已知函数f（x）=lnx+

2

x

+ax-3（其中a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对?x∈[1，3]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．