Question

已知数列{a_n}满足a₀∈R，a_n+1=2ⁿ-3a_n，（n=0，1，2，…）
（1）设b_n=

an

2n

，试用a₀，n表示b_n（即求数列{b_n}的通项公式）；
（2）求使得数列{a_n}递增的所有a₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）a_n+1=2ⁿ-3a_n⇒

an+1

2n+1

=-

3

2

•

an

2n

+

1

2

，即bn+1=-

3

2

bn+

1

2

，变形整理即可求得，bn=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n；
（2）由（1）知

an

2n

=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，从而an=

1

5

•2n+2n(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，于是有an-an-1=

2n

10

[

40

3

•(a0-

1

5

)(-

3

2

)n+1]，设A=

40

3

•(a0-

1

5

)，则an-an-1=

2n

10

[A(-

3

2

)n+1]，依题意，证明a0=

1

5

即可．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2ⁿ-3a_n，
∴

an+1

2n+1

=-

3

2

•

an

2n

+

1

2

，（2分）
即bn+1=-

3

2

bn+

1

2

，变形得，bn+1-

1

5

=-

3

2

(bn-

1

5

)，（2分）
故bn-

1

5

=(b0-

1

5

)(-

3

2

)n，因而，bn=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n；（1分）
（2）由（1）知

an

2n

=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，从而an=

1

5

•2n+2n(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，（1分）
故an-an-1=

2n

10

[

40

3

•(a0-

1

5

)(-

3

2

)n+1]，（3分）
设A=

40

3

•(a0-

1

5

)，
则an-an-1=

2n

10

[A(-

3

2

)n+1]，下面说明a0=

1

5

，讨论：
若a0＜

1

5

，则A＜0，此时对充分大的偶数n，[A(-

3

2

)n+1]＜0，有a_n＜a_n-1，这与{a_n}递增的要求不符；（2分）
若a0＞

1

5

，则A＞0，此时对充分大的奇数n，[A(-

3

2

)n+1]＜0，有a_n＜a_n-1，这与{a_n}递增的要求不符；（2分）
若a0=

1

5

，则A=0，an-an-1=

2n

10

＞0，始终有a_n＞a_n-1．综上，a0=

1

5

（1分）
注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分．

点评：本题考查数列递推式，着重考查等比关系的确定及构造函数思想，考查推理、分析与运算的综合能力，属于难题．