已知函数f（x）=aln x-x+

a-1

x

．
（1）若a=4，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在定义域内无极值，求实数a的取值范围．

已知f（x）=

x 2 ，x≥0 -x2+3x，x＜0

，则不等式f（x）＜f（4）的解集为（　　）

定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x₁＜x₂，则e^x₁f（x₂）与e^x₂f（x₁）的大小关系为（　　）

一质点运动方程S（t）=asint+bcost（a＞0），若速度v（t）最大值为

6

，且对任意的t₀∈R，在t=t₀与t=

π

2

-t₀时速度相同，求a，b的值．

已知函数y=2sin（2x+

π

6

）．
（1）求函数在区间[

π

6

，

π

3

]的单调性；
（2）若x∈[

π

6

，

π

3

]，求函数的最大值和最小值．

在R上定义运算?：p?q=-

1

3

（p-c）（q-b）+4bc（b、c为实常数）．记f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M．若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

若直线l：x+2y-3=0与圆x²+y²-2mx+m=0相交于P，Q两点，并且OP⊥OQ，求实数m的值．

设AB为过椭圆x²+4y²=4中心的弦，F为焦点，求△FAB的最大面积．

已知函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）•x²
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性．

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-y²=13，（a＞0）交于两点M，N，且OM⊥ON，求该双曲线的方程．