Question

在R上定义运算?：p?q=-

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3

（p-c）（q-b）+4bc（b、c为实常数）．记f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M．若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由定义求出f（x）和导数．（1）由题意得，f（1）=-

4

3

且f′（1）=0，解出b，c 并检验即可；
（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；
（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．

解答： 解：（I）依题意：已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
得f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+bc，
解

f(1)= 4 3 f′(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=1 c=3

．
若得

b=1 c=-1

，
f（x）=

1

3

x³+x²-x-1，
f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若

b=1 c=3

，f（x）=

1

3

x³-x²+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以

b=1 c=3

即为所求；
（Ⅱ）f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、（2b，3bc+

4

3

b³），
相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+

4

3

b³．
解cx+bc=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
得x=0或x=3b；
解cx+bc+

4

3

b³=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和（2b，

4

3

b³+3bc）、（-b，

4

3

b³）
（Ⅲ）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．
若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
因为|b|＞1，所以函数y=f′（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
所以f′（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（1）和g（-1）中较大的一个．
假设M≤2，则g（-1）=|-1-2b+c|≤2，
g（1）=|-1+2b+c|≤2，
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，
所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（x）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．；
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）
则M=max{||f′（1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（1）-f′（b）|=

1

2

（b-1）²≥

1

2

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{||f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（-1）-f′（b）|=

1

2

（b+1）²≥

1

2

当b=0，c=

1

2

时，g（x）=|f′（x）|=|-x²+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范围是（-∞，

1

2

]．k的最大值为

1

2

．

点评：本题考查函数的导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查不等式有解转化为求函数的最值及参数分离法，构造函数求最值，是解题的关键，属于难题