已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，直线y=

2

2

x与椭圆在第一象限的交点是M，M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F₂，另一个焦点是F₁．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若

MF1

•

MF2

=2，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，直线l经过左焦点F₁，且与椭圆相交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

（1）已知矩阵M=

1 2 2 x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
（2）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
①求证：DE是⊙O的切线；②若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（3）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

实数a，b，c分别满足2^a=log 

1

2

a，（

1

2

）^b=log 

1

2

b，（

1

2

）^c=log₂c，则其大小关系为（　　）

已知函数f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）求证：不论k取何值，曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线不过点（e+1，0）；
（2）若f′（1）=0，证明：对任意x＞0，f′（x）＜

e-x+1

x2+x

恒成立．

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如：6²+1=37，则f（6）=3+7=10．记f₁（m）=f（m），f₂（n）=f（f₁（n）），…f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₁₅（4）=．

在相同条件下，种植甲、乙两种水稻各100亩，收获情况如下：
甲种水稻

亩产量/kg	300	320	330	340
亩数	15	30	35	20

乙种水稻

亩产量/kg	300	320	330	340
亩数	20	25	40	15

试运用所学知识评价哪种水稻的质量更好．

已知抛物线x²=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，则y₁+y₂的最小值是．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为x²+y²=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的一个焦点F重合，直线l：y=x+m与抛物线E交于两点A，B，且0≤m≤1，求△FAB的面积的最大值．

过点P（1，2）的直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当△AOB（0为坐标原点）的面积最小时，A、B两点恰好是曲线R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的顶点．
（1）求曲线R的方程；
（2）过点P的直线交曲线R于C、D（异于A、B）两点，求四边形ACBD面积的最小值．

正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，F、G在边BC上，且AE=BF=2，BG=3．将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P-DEF中EF与DG所成角的余弦值为．