已知函数f（x）=log₃

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P满足2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

1 6 ，                          n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

1

22-1

+

1

32-1

+

1

42-1

+…+

1

(n+1)2-1

的值为（　　）

A． n+1 2(n+2)	B． 3 4 - n+1 2(n+2)
C． 3 4 - 1 2 ( 1 n+1 + 1 n+2 )	D． 3 2 - 1 n+1 - 1 n+2

在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由bn=

AnAn+1

•

j

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N） （其中

j

是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

22

)…An(n，

1

2n-1

)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

数列1，（1+2），（1+2+2²），…，（1+2+2²+…+2^n-1），…的前n项和S_n＞1020，那么n的最小值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

在数列{a_n}中，a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设bn=

an•an+1

an + an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

已知等差数列{a_n}满足a₂=5，且a₆=3a₁+a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）从集合{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为ξ，求ξ的分布列和期望．

已知一个数列{a_n}的各项是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有f（k）个2，记数列的前n项的和为S_n．
（1）若f（k）=2^k-1，求S₁₀₀；
（2）若f（k）=2k-1，求S₂₀₁₁．

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=n(

1

2

)an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知f（n）=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

，则（　　）

A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）= 1 2 + 1 3

B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）= 1 2 + 1 3 + 1 4

C．f（n）中共有n2-n项，当n=2时，f（2）= 1 2 + 1 3

D．f（n）中共有n2-n+1项，当n=2时，f（2）= 1 2 + 1 3 + 1 4