数列{a_n}和数列{b_n}（n∈N^*）由下列条件确定：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：当

ak-1+bk-1

2

≥0时，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

；当

ak-1+bk-1

2

＜0时，a_k=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1．
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{a_k-b_k}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{n（b_k-a_n）}的前n项和为S_n，若已知当a＞1时，

lim

n→∞

n

an

=0，求

lim

n→∞

Sn．
（Ⅲ）m（n≥2）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整数时，用a₁，b₁表示n满足的条件．

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）试求λ、μ的值，使得数列{a_n+λn²+μn}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求证：数列{a_n}是等比数列；
③是否存在常数a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

在等比数列{a_n}中，若a₇+a₈+a₉+a₁₀=

15

8

，a₈a₉=-

9

8

，则

1

a7

+

1

a8

+

1

a9

+

1

a10

=______．

已知等比数列{a_n}满足a₁•a₄•a₇=1，a₂•a₅•a₈=8，则a₃•a₆•a₉的值为（　　）

A．8

B．16

C．32

D．64

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则

PA

•

PB

的取值范围为（　　）

A．(0， 1 2 ]

B．[- 1 2 ，0)

C．(- 1 2 ，0)

D．[-1，0）

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设bn=an-

1

4

×3n
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

…+

1

a2n

，求证：T_2n＜3．

在等比数列{a_n}中，若a₅a₈a₁₁=k，则k²等于（　　）

A．a6a7a8a9a10a11	B．a5a6a7a9a10a11
C．a7a8a9a10a11a12	D．a8a9a10a11a12a13