如图，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e＝.过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

已知椭圆E：＋y²＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2)若Rt△MAB面积的最大值为，求a；
(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

设A₁、A₂与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A₂B与圆C：x²＋y²＝1相切．
(1)求证：＝1；
(2)P是椭圆E上异于A₁、A₂的一点，若直线PA₁、PA₂的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

已知曲线C上动点P(x，y)到定点F₁(，0)与定直线l₁∶x＝的距离之比为常数.
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求·的最小值，并求此时圆T的方程．

已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，双曲线＝1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁.又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
(2)当＝λ，求λ的最大值．

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，，求直线的方程.

在平面直角坐标系中，点P到两圆C₁与C₂的圆心的距离之和等于4，其中C₁：，C₂：. 设点P的轨迹为．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C交于A，B两点．问k为何值时？此时的值是多少？

椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于两点.
（1）求椭圆的方程及线段的长；
（2）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.

已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（  ）

A．

B．

C．

D．

给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，
并证明；
（ⅱ）求证：线段的长为定值.