题目内容

已知椭圆,椭圆的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,点分别在椭圆上,,求直线的方程.
(1);(2).

试题分析:(1)先根据题意设椭圆的方程为,再利用离心率相等求出的值,进而确定椭圆的方程;(2)根据条件得到三点共线,进而可以设直线的方程为,并将此直线方程与两椭圆的方程联立,求出点的坐标,并结合这个条件得出两点坐标之间的等量关系,从而求出的值,最终求出直线的方程.
试题解析:(1)由已知可设椭圆的方程为
其离心率为,故,解得,因此椭圆的方程为
(2)设两点的坐标分别为
及(1)知,三点共线,且不在轴上,因此可设直线的方程为
代入中,得,所以
代入,得,所以,
又由,得,即,
解得,故直线的方程为.
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