题目内容

商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343=0.2391，lgl.05=0.0212，1.05⁸=1.4774）

解：（1）依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．
设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，
则公寓每年收费总额为1000×800（元）=800000（元）=80万元，
扣除18万元，可偿还贷款62万元．
依题意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．
化简得62（1.05ⁿ-1）≥25×1.05ⁿ⁺¹．
∴1.05ⁿ≥1.7343．
两边取对数整理得 $\text{[math]}$ ．
∴取n=12（年）．
∴到2014年底可全部还清贷款．
（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，
因到2010年底公寓共使用了8年，
依题意有 $\text{[math]}$ …+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．
化简得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ （元）
故每生每年的最低收费标准为992元．
分析：（1）依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，依题意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．由此能求出到2014年底可全部还清贷款．
（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依题意有 $\text{[math]}$ …+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．由此能求出每生每年的最低收费标准为992元．
点评：本题考查数列知识在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意对数性质的灵活运用．