题目内容

已知函数f（x）=2Acos²（ $数学公式$ x+φ）-A（X∈R，A＞0，|φ|＜ $数学公式$ ），y=f（x）的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ= $数学公式$ ，求△PRQ的面积．

解：（1）∵函数f（x）=2Acos²（ $\text{[math]}$ x+φ）-A=A[2cos²（ $\text{[math]}$ x+φ）-1）=Acos（ $\text{[math]}$ x+2φ），
故函数的周期为T= $\text{[math]}$ =6，
再由点P（1，A），可得 Acos（ $\text{[math]}$ +2φ）=A，cos（ $\text{[math]}$ +2φ）=1．

又因为|φ|＜ $\text{[math]}$ ，所以 φ=- $\text{[math]}$ ． …（6分）
（2）设点Q的坐标为（x₀，-A），由题意可知 $\text{[math]}$ x₀- $\text{[math]}$ =π，得 x₀=4，所以Q（4，-A）．
连接PQ，则 PQ²=（4-1）²+（-A-A）²=9+4A²，
又因为 RP=A，RQ²=（4-1）²+（-A-0）²=9+A²，
在△PQR中，∠PRQ= $\text{[math]}$ ，由余弦定理得 cos∠PRQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
解得A²=3，∴A= $\text{[math]}$ ．
故S_△PRQ= $\text{[math]}$ RP•RQ•sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •A• $\text{[math]}$ •sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为Acos（ $\text{[math]}$ x+2φ），由此求得函数的周期．再把点P（1，A）代入函数的解析式，可得cos（ $\text{[math]}$ +2φ）=1，结合 φ的范围求得 φ的值．
（2）设点Q的坐标为（x₀，-A），求得得 x₀=4，在△PQR中，∠PRQ= $\text{[math]}$ ，由余弦定理求得A的值，再由 S_△PRQ= $\text{[math]}$ RP•RQ•sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •A• $\text{[math]}$ •sin $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，余弦定理、二倍角公式，以及三角形的面积公式，属于中档题．