Question

设S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，则f（n）=

Sn	(n+32)Sn+1

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先求出等差数列前n项和Sn的表达式，进而化简整理f（n）的解析式，便可求出求f（n）的最大值．

解答：解：S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
S_n+1=

(n+1)(n+2)

2

，
f（n）=

Sn

(n+32)Sn+1

=

n(n+1)

(n+32)(n+1)(n+2)

=

n

(n+32)(n+2)

=

n

n2+34n+64

=

1

n+ 64 n +34

∵n+

64

n

≥2×8=16，
∴当且仅当n=8时，n+

64

n

+34有最小值，即=

1

n+ 64 n +34

有最大值．

1

n+ 64 n +34

≤

1

8+8+34

=

1

50

．
故答案为

1

50

．

点评：本题主要考查函数的转化化归和等差数列前n项和公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．