Question

设S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，求f(n)=

Sn	(n+32)Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：由S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，我们不难给出S_n，及S_n+1的值，进而求出f（n）的解析式，然后利用求函数最值的办法，求f（n）的最大值．

解答：解：由等差数列求和公式得Sn=

1

2

n(n+1)，Sn+1=

1

2

(n+1)(n+2)
∴f(n)=

Sn

(n+32)Sn+1

=

n

n2+34n+64

=

1

n+34+ 64 n

=

1

( n - 8 n )2+50

≤

1

50

∴当且仅当

n

=

8

n

，，即n=8时，
f(n)max=

1

50

点评：本题考查的知识点是等差数列的前n项和，熟练掌握并应用等差数列的前n项和公式，是解决本题的关键，另外在求出函数f（n）的解析式后，对分母的取值范围进行分析时，我们也可以利用基本不等式处理．