题目内容
【题目】已知函数
（
为自然对数的底数）.
（1）求函数
的单调区间；
（2）设函数
，存在实数
，
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
在
上单调递增，在
上单调递减；（2）
.
【解析】
试题分析：（1先求出导函数，由
可得增区间，由
可得减区间；（2）假设存在
使得成立
成立，则
；分
三种情况讨论求最值得到
，即
，即可求实数
的取值范围.
试题解析：（1）∵函数的定义域为
，
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴在上单调递增，在上单调递减.
（2）假设存在
，使得
成立，
则
.
∵
，
∴
.
①当
时，
，
在
上单调递减，
∴
，即
.
②当
时，
，在上单调递增，
∴
，即
.
③当
时，若
，，在
上单调递减；
若
，
，在
上单调递增，
所以
，
即
，（*）
由（1）知，
在
上单调递减，
故
，而
，所以不等式（*）无解.
综上所述，存在，使得命题成立.
练习册系列答案
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【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
