Question

14．已知函数f（x）定义在R上，f′（x）是f（x）的导函数，且f′（x）＜$\frac{1}{2}$，f（1）=1，则不等式f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． {x|x＜-1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|-1＜x＜1}

Answer 1

分析 不等式可整理为f（x）-$\frac{x}{2}$＜$\frac{1}{2}$，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$，通过导函数判断函数g（x）的单调性求出解集．

解答 解：f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）-$\frac{x}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
令g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$，g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴g（x）＜g（1），
g'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）为减函数，
∴x＞1，
故选：B．

点评 考查了函数的构造和导函数的应用．