Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为135°，求|AB|的长；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，试求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义即可求出p的值，求出直线l的方程，联立方程组，得到x₁+x₂=6，根据焦点弦定理即可求出|AB|，
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，运用向量的坐标表示，可得m，n，由此可得结论．

解答 解：（Ⅰ）据已知得椭圆E的右焦点为F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
故抛物线C的方程为y²=4x，
∵直线l的倾斜角为135°，
∴y=-x+1，
于是$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得到（-x+1）²=4x，即x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=6，
∴|AB|=p+x₁+x₂=8，
（Ⅱ）根据题意知斜率必存在，于是设方程为y=k（x-1），点M坐标为M（0，-k），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为l与抛物线C的交点，$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得到k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵△=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），（x₂，y₂+k）=n（1-x₂，-y₂），
∴m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$
∴m+n=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2+\frac{4}{{k}^{2}}-2}{1-2-\frac{4}{{k}^{2}}+1}$=-1

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用韦达定理是关键，属于中档题．