Question

11．已知$f（x）=sin（\frac{π}{6}-2x）+1-2{cos^2}x$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$a=1，b+c=2，f（A）=-\frac{1}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=-sin（2x$+\frac{π}{6}$），由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由已知可得：sin（2A$+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围2A$+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），解得A的值，由余弦定理可解得bc的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin（\frac{π}{6}-2x）+1-2{cos^2}x$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=-sin（2x$+\frac{π}{6}$），
∴2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=-sin（2A$+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，可得：sin（2A$+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），2A$+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2A$+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：1=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc，解得：bc=1，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．