题目内容

2．设集合A={x|1≤x≤6，x∈N}，对于A的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5-2+1=4，{6，3}的“交替和”就是6-3=3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A的所有这些“交替和”的总和为（　　）
A．128B．192C．224D．256

分析 根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn即可．

解答 解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，
又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，
∴S2=1+2+2-1=4；
S3=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
S4=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32，
∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n•2n-1，
所以S6=6×26-1=6×25=192，
故选：B．

点评 本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．

练习册系列答案
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A．4054B．5046C．5075D．6047
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