Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若m（x）=f（x）-g（x），求m（x）的最小值．
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂），求实数m的取值范围，并证明F（x₂）＞-

3+4ln2

16

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出单调增区间和减区间，得到极小值，也为最小值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ag（x）=x²-x-alnx，则h（1）=0．则h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要条件是h'（1）=0，求出h（x）的导数，求出h（x）的最小值即可；
（Ⅲ）求出F′（x），F（x）有两个极值点x₁，x₂等价于方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，运用韦达定理，构造函数φ（x）=x²-x+（x-2x²）lnx（

1

4

＜x＜

1

2

），求出导数，判断单调性，运用单调性即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）m（x）=f（x）-g（x）=x²-x-lnx（x＞0）
m′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）递增，当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）递减．
故x=1时，m（x）取极小值，也为最小值，且为0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ag（x）=x²-x-alnx，则h（1）=0．
则h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要条件是h'（1）=0，
又h′(x)=2x-1-

a

x

，
由h'（1）=2-1-a=0得：a=1．                           
当a=1时，h′(x)=

2x2-x-1

x

，知h（x）_min=h（1）=0，
故h（x）≥0（x＞0），即f（x）≥ag（x）恒成立．              
（Ⅲ）由F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，
得F′（x）=

2x2-x+m

x

（x＞0）．                      
F（x）有两个极值点x₁，x₂等价于方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，
即：

△=1-8m＞0 x1+x2= 1 2 ＞0 x1x2= m 2 ＞0

，解得 0＜m＜

1

8

．                      
由F'（x₂）=0，得m=-2

x

2 2

+x2，其中0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

．
所以F(x2)=

x

2 2

-x2+(x2-2

x

2 2

)lnx2．　　　                
设φ（x）=x²-x+（x-2x²）lnx（

1

4

＜x＜

1

2

），
得φ′（x）=（1-4x）lnx＞0，
所以φ（x）＞φ（

1

4

）=-

3+4ln2

16

，
即F（x₂）＞-

3+4ln2

16

．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，以及二次方程的韦达定理的运用，构造函数应用导数求解的能力，属于中档题．