题目内容

15．已知函数f（x）=xlnx，则（　　）
A．f（x）在（0，+∞）上是增函数B．f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上是增函数
C．当x∈（0，1）时，f（x）有最小值$-\frac{1}{e}$D．f（x）在定义域内无极值

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到答案．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
f（x）min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
当x∈（0，1）时，f（x）有最小值-$\frac{1}{e}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

练习册系列答案
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15．如图，已知椭圆C经过点（2，$\sqrt{2}$），且中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（-2，0），直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E、F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点F的坐标为（2，$\sqrt{2}$），求以MN为直径的圆的方程．
16．已知函数g（x）=x2+（a-1）x+a-2a2，h（x）=（x-1）2，若不等式g（x）＞0的解集为集合A，不等式h（x）＜1的解集为集合B．
（1）若集合A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
（2）已知logx[f（x）]-logx[g（x）]=1，且不等式f（x）＞0的解集为集合C，若集合C∩B≠∅，求实数a的取值范围．
3．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥BC．
（1）求证：OE⊥FC；
（2）设AF=1，AC=$\sqrt{3}$，求二面角F-CE-B的余弦值．
10．设f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求证：当x＞0时，e2x＞ex+x．
20．已知函数f（x）=e2x+x2-ax-2．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（2）若g（x）=f（x）-x2+2，且g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
7．已知F为抛物线C：y2=2px的焦点，点A（3，m）在抛物线C上，且|AF|=5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求弦PQ的中点坐标．
4．已知f（x）=$\sqrt{x}$
（Ⅰ）计算f（x）的图象在点（4，2）处的切线斜率；
（Ⅱ）求此切线方程．
5．设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不平行，向量λ$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$平行，则实数λ=（　　）
A．$-\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{2}$C．-2D．2

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