Question

数列{a_n}满足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}的前n项之积，则A₂₀₀₉等于（　　）

• A、2
• B、-2
• C、3
• D、-3

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知得{a_n}是以3为周期的周期数列，A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂，由此能求出结果．

解答： 解：∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，
∴a_n+1=

an-1

an

=1-

1

an

，
∴a₂=1-

1

3

=

2

3

，
a₃=1-

3

2

=-

1

2

，
a₄=1+2=3，
…，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
且a₁•a₂•a₃=3×

2

3

×（-

1

2

）=-1，
∵2009=669×3+2
∴A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂=（-1）⁶⁶⁹•3×

2

3

=-2．
故选：B

点评：本题考查数列的前2009项积的求法，解题时要关键是推导出{a_n}是以3为周期的周期数列．是中档题