Question

13．给出以下命题：
①双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x；
②函数f（x）=lgx-$\frac{1}{x}$的零点所在的区间是（1，10）；
③已知线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④已知随机变量X服从正态分布N（0，1），且P（-1≤X≤1）=m，则P（X＜-1）=1-m
则正确命题的序号为①②③．（写出所有正确题的序号）．

Answer 1

分析 由双曲线方程求出渐近线方程判断①；求出函数f（x）=lgx-$\frac{1}{x}$的零点所在的区间判断②；由线性回归直线方程的意义判断③；由已知求出P（X＜-1）的值判断④．

解答 解：①由$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1，得a²=2，b²=1，∴a=$\sqrt{2}，b=1$，则双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{a}{b}x$=±$\sqrt{2}$x，故①正确；
②函数f（x）=lgx-$\frac{1}{x}$为（0，+∞）上的增函数，又f（1）=-1＜0，f（10）=1-$\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$＞0，则零点所在的区间是（1，10），故②正确；
③线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位，正确；
④随机变量X服从正态分布N（0，1），且P（-1≤X≤1）=m，则P（X＜-1）=$\frac{1-m}{2}$，故④错误．
∴正确命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线的性质，考查函数零点判定定理的应用，训练了正态分布概率的求法，是中档题．