Question

5．在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，求数列{c_n}的前项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过b₁=a₁=3可知b₄=a₂=3q、b₁₃=a₃=3q²，利用数列{b_n}为等差数列计算可知q=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，通过b_2k-1+b_2k=-（4k-1）+（4k+1）=2分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）依题意，b₁=a₁=3，
b₄=a₂=3q，b₁₃=a₃=3q²，
又∵数列{b_n}为等差数列，
∴4（b₃-b₁）=b₁₃-b₁，
即4（3q-3）=3q²-3，
化简得：q²-4q+3=0，
解得：q=3或q=1（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ，
∴公差d=$\frac{{b}_{4}-{b}_{1}}{4-1}$=$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{3}$=$\frac{9-3}{3}$=2，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知c_n=（-1）ⁿb_n+a_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，
∵b_2k-1+b_2k=-（4k-1）+（4k+1）=2，
∴当n为奇数时，S_n=n-1-（2n+1）+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=-n+$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{7}{2}$；
当n为偶数时，S_n=n+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=n+$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n+\frac{1}{2}•{3}^{n+1}-\frac{7}{2}，}&{n为奇数}\\{n+\frac{1}{2}•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．