Question

17．已知x，y，z为正数，3^x=4^y=6^z，2x=py．
（1）求p；
（2）证明：$\frac{1}{z}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2y}$．

Answer 1

分析 （1）可令3^x=4^y=6^z=k，利用指对数互化，对数的运算性质解答．
（2）计算等式的左边和右边的值相等，等式得到证明．

解答 解：（1）令3^x=4^y=6^z=k，
则 x=log₃^k，y=log₄^k，z=log₆^k，
∵2x=py，
∴2log₃^k=plog₄^k，
∴P=$\frac{2{log}_{3}k}{{log}_{4}k}$=$\frac{2{log}_{k}4}{{log}_{k}3}$=2log₃4．
证明：（2）∵$\frac{1}{z}$-$\frac{1}{x}$=log_k⁶-log_k³=log_k²，
$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{2}$•log_k⁴=log_k²，
∴$\frac{1}{z}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2y}$．

点评 本题考查指数式与对数式得转化，对数运算性质的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．