题目内容
10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1．（1）若b=a+1，且对任意a∈[-1，1]时都有f（x）≥0成立，求实数x的取值范围；
（2）若对x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一根属于（x1，x2）．
分析 （1）若b=a+1，则函数f（x）=ax2+（a+1）x+1=（x2+x）a+x+1≥0对任意a∈[-1，1]都成立，则$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得答案；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x1 ）+f（x2）]，证明g（x1）•g（x2）＜0，可得g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根，问题得证
解答 解：（1）若b=a+1，则函数f（x）=ax2+（a+1）x+1=（x2+x）a+x+1≥0对任意a∈[-1，1]都成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得：x∈[-1，1]；
证明：（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）-$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]=$\frac{1}{2}$[f（x1）-f（x2）]，
g（x2）=f（x2）-$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]=-$\frac{1}{2}$[f（x1）-f（x2）]，
∴g（x1）•g（x2）=$\frac{1}{2}$[f（x1）-f（x2）]•（-$\frac{1}{2}$）[f（x1）-f（x2）]=-$\frac{1}{4}$[f（x1）-f（x2）]2．
∵f（x1）≠f（x2），
∴g（x1）•g（x2）＜0．
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根．
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）内必有一实根．
再由 g（x1）•g（x2）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，
故函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]的图象与x轴一定有两个交点，
故方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根．
综上可得，方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x1，x2）．
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
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