Question

20．存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a，则a的取值范围是a≤$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 写出”存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a“的否定，求出命题的否定成立时a的范围，再求该命题成立时a的取值范围即可．

解答 解：命题“存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a”的否定为：
对任意x＞0，都有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$＜a恒成立；
又对任意x＞0，都有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$＜a恒成立时a的范围是：
∵x＞0时，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$，当且仅当x=1时，取“=”，
∴a＞$\frac{1}{5}$；
∴命题“存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a时，
a的取值范围是：a≤$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了命题与命题的否定的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题目．