Question

【题目】如图,棱锥的地面是矩形, 平面,,.

(1)求证: 平面;

(2)求二面角的大小;

(3)求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2);(3).

【解析】

（1）先证明为正方形,可得,由平面,平面,可得，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以为轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，结合为平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角的平面角即可；（3）求出平面的法向量，再求出平面的斜线所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离.

(1)解法一:在中, ,,

∴,∴为正方形,

因此,

∵平面,平面,

∴.又∵,

∴平面.

解法二:以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,

在中, ,,

∴,∴,,

∴,,.

∵,,

即,.又,

∴平面.

(2)解法一:由平面,

知为在平面上的射影.

又,∴,

∴为二面角的平面角.

又∵,∴.

解法二:由1题得,.

设平面的法向量为,则,,

即,∴,

故平面的法向量可取为,

∵平面,

∴为平面的法向量.

设二面角的大小为,

依题意可得,

∴.

(3)解法一:∵,

∴,

设到平面的距离为,

由,

有,

得.

解法二:由1题得,,

设平面的法向量为,

则,,

即,

∴.

故平面的法向量可取为.

∵,

∴到平面的距离为.