Question

12．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$，则满足f（f（t））=2^f（t）的t的取值范围是{t|t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$}．

Answer 1

分析 根据函数满足f（f（t））=2^f（t）得出f（t）≥1，
讨论t≥1时f（t）=2^t≥1，和t＜1时f（t）=$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{4}$≥1，
解不等式求得t的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$满足f（f（t））=2^f（t），
∴f（t）≥1，
当t≥1时，f（t）=2^t≥1，解得t≥0，
∴t≥1；
当t＜1时，f（t）=$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{4}$≥1，
解得t≥-$\frac{1}{3}$，∴-$\frac{1}{3}$≤t＜1；
又当t=-3时，f（t）=f（-3）=$\frac{3}{4}$×（-3）+$\frac{5}{4}$=-1，
f（-1）=$\frac{3}{4}$×（-1）+$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}$，
2^f（-3）=2^-1=$\frac{1}{2}$，也满足题意；
综上，t的取值范围是t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$．
故答案为：{t|t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．