Question

15．已知函数f（x）=sinx-2cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域；
（3）若直线x=x₀是函数y=f（4x）图象的对称轴，且x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）用二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式，求出f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）由x的范围和正弦函数的图象与性质求出f（x）的值域；
（3）由（1）求出f（4x）的解析式，由正弦函数的对称轴方程列出方程化简，由x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]求出x₀的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=sinx-cosx-1=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1$，
所以f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）-1$=-1； …（2分）
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1$…（3分）
由x∈[0，π]得x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，则$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$…（4分）
则$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1∈[-2，\sqrt{2}-1]$
所以值域为[-2，$\sqrt{2}-1$]…（6分）
（3）由（1）得，y=f（4x）=$\sqrt{2}sin（4x-\frac{π}{4}）-1$，…（7分）
令$sin（x-\frac{π}{4}）=±1$ 得，$4x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$…（9分）
解得$x=\frac{kπ}{4}+\frac{3π}{16}（k∈Z）$，
由$0≤\frac{kπ}{4}+\frac{3π}{16}≤\frac{π}{4}$ （k∈Z）得k=0…（11分）
因此${x}_{0}=\frac{3π}{16}$…（12分）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式，考查整体思想，化简、变形能力．