Question

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）+f（1+x）=2，且当x＞1时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是x+y=0．

Answer 1

分析 求出x＜1时函数的解析式，再求出切线斜率，即可求出切线方程．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）+f（1+x）=2，
∴函数f（x）关于（1，1）对称，
x＜1时，取点（x，y），关于（1，1）的对称点（2-x，2-y）代入当x＞1时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，可得2-y=$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y=2-$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y′=$\frac{x-1}{{e}^{-x}}$，
x=0时，y′=-1，y=0，
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是y-0=-（x-0），即x+y=0，
故答案为：x+y=0．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查导数的几何意义，求出函数的解析式是关键．