Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=6，D为BC的中点．
（Ⅰ）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C；
（Ⅱ）若E为棱CC₁上的任意一点，求证：三棱锥A₁-ADE的体积为定值，并求出此定值．γ

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC₁，BC₁，运用线面垂直的判定和性质，即可得证；
（Ⅱ）三棱锥A₁-ADE的体积即为三棱锥D-A₁AE的体积．在三角形ABC中，取AC中点H，连接DH，证得DH⊥平面ACC₁A₁，再由棱锥的体积公式，即可得证．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC₁，BC₁，
则由D为BC的中点，E为棱CC₁的中点，则DE∥BC₁，
正方形ACC₁A₁中，AC₁⊥A₁C，
侧棱AA₁垂直于底面ABC，则AA₁⊥AB，
又AB⊥AC，则有AB⊥平面ACC₁A₁，
则AB⊥A₁C，即有A₁C⊥平面ABC₁，
则A₁C⊥BC₁，由于DE∥BC₁，
则DE⊥A₁C；
（Ⅱ）三棱锥A₁-ADE的体积即为三棱锥D-A₁AE的体积．
在三角形ABC中，取AC中点H，连接DH，DH∥AB，
由于AB⊥平面ACC₁A₁，即有DH⊥平面ACC₁A₁，
则三棱锥D-A₁AE的体积

1

3

×DH×

1

2

AC•AA₁=

1

3

×3×

1

2

×6×6=18．
则三棱锥A₁-ADE的体积为定值，且为18．

点评：本题考查空间直线和平面垂直的性质和判定定理及运用，考查三棱锥的体积和等积法的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．