Question

在教育心理学中有时可用函数f（x）=

0.1+1.5ln a a-x ，(x≥6) x-4.4 x-4 ，(x＞6)

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），正实数a与学科知识有关．
（1）当x≥7时，判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科．（参考数据：e^0.04=1.04，e^0.4=1.49）

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用单调性的定义，即可证明结论
（2）学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，故得方程0.1+15ln

a

a-5

=0.7，由此方程解出a的值即可确定相应的学科．

解答： 解：（1）当x≥7时，函数y=f（x）单调递增．
设x₂＞x₁≥7时，则f（x₂）-f（x₁）=

0.4(x2-x1)

(x1-4)(x2-4)

＞0
∴当x≥7时，函数y=f（x）单调递增；
（2）由题意可知0.1+15ln

a

a-5

=0.7
整理得a=

e0.04

e0.04-1

×5=26×5=130∈（127，133]．
由此可知，该学科是丙学科．

点评：本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．