Question

17．在正项等比数列{a_n}中，已知a₄=$\frac{1}{2}$，a₅+a₆=3，则a₁a₂…a_n的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{256}$
• B． $\frac{1}{512}$
• C． $\frac{1}{1024}$
• D． $\frac{1}{2048}$

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}公比为q（q＞0），由题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出q和a₁的值，由等比数列的通项公式求出a_n，代入a₁a₂…a_n利用指数的运算化简，由二次函数的性质、指数函数的性质、n的范围求出答案．

解答 解：设正项等比数列{a_n}公比为q（q＞0），
∵a₄=$\frac{1}{2}$，a₅+a₆=3，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=\frac{1}{2}}\\{{a}_{1}{q}^{4}+{a}_{1}{q}^{5}=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{1}{16}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{16}•{2}^{n-1}$=2^n-5，
∴a₁a₂…a_n=2^-42^-3…2^n-5=${2}^{\frac{n（-4+n-5）}{2}}$
=${2}^{\frac{{n}^{2}-9n}{2}}$，
∵当n=$\frac{9}{2}$时$\frac{{n}^{2}-9n}{2}$取最小值，此时${2}^{\frac{{n}^{2}-9n}{2}}$取最小值，
∴当n=4或5时，a₁a₂…a_n取到最小值是2^-10=$\frac{1}{1024}$，
故选C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，二次函数的性质、指数函数的性质，及指数的运算法则，考查方程思想．