Question

已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（，且为常数）.过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、   BD得到.
（1）求证：；
（2）求证：的面积为定值.

Answer 1

解 （1）依题意得：，解得.
所以抛物线方程为 .
（2）由方程组消去得：.（※）
依题意可知：.
由已知得，.
由，得，
即，整理得.
所以 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知中点，
所以点，
依题意知.
又因为方程（※）中判别式，得.
所以 ，由（Ⅱ）可知，
所以.  
又为常数，故的面积为定值.