Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C₁（2，2，2）
（1）则

AE

=（0，1，2），

BF

=（-1，0，2）
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ=|

AE • BF

| AE |•| BF |

|=

4

5

即异面直线AE和BF所成角的余弦值为

4

5

（2）∵

AB

=（2，0，0）为平面BDD₁的一个法向量，
设向量

n

=(x，y，z)为平面BFC₁的一个法向量
则

n • BF =0 n • BC1 =0

，即

-x+2z=0 2y+2z=0

令z=1，则向量

n

=(2，-1，1)为平面BFC₁的一个法向量
∵cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

3

∴sin＜

n

，

AB

＞=

3

3

∴平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值为

3

3